Kulička na tyči K1 - pro učitele
Lze předpokládat, že proudová rovnice odezní podstatně rychleji než rovnice mechanická, můžeme tedy uvažovat, že
(6) <math>L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}=0</math>.
Z náhradního schématu na obr.3 sestavíme rovnici pro u(t). Platí, že
(7) <math>u(t)\,=\,k_p(\alpha(t)-\varphi(t))</math>.
Kombinací rovnic (1), (2), (3), (6) a (7) a za předpokladu, že tyč zpětně neovlivňuje chování motoru, tzn. Mz=0 N m, získáme úpravou použitých rovnic rovnici
<math>\frac{\mathrm{d} \omega(t)}{\mathrm{d}t}=(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})\omega(t)+\frac{k_m k_p}{JR}(\alpha_{ref} (t) - \varphi(t))</math>.
Závislost úhlu náklonu tyče na úhlu natočení hřídele \alpha(\varphi) je lineární, můžeme tedy psát
<math>\alpha(\varphi)\,=\,k\varphi(t)</math>.
Stavový popis modelu
Stavový vektor volíme
<math>x(t)\,=\,[\omega(t)\,\varphi(t)\,v(t)\,x(t)]^T</math>
Provedeme linarizaci v obecném pracovním bodě a získáme stavové matice popisující systém:
A=<math>
\left(\begin{array}[c]{cccc}
-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J} & -\frac{k_m k_p}{JR} & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & -\frac{g}{1+\frac{2}{5} (\frac{R_k}{r})^2}\cos(k \alpha_0) & -\delta & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
</math>, B=<math>
\left(\begin{array}[c]{ccc}
\frac{k_m k_p}{JR} \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
</math>, C=<math>
\left(\begin{array}[c]{cccc}
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}\right)
</math>, D=<math>
\left(\begin{array}[c]{ccc}
0\\
0
\end{array}\right)
</math>.
Přenosy systému tak jsou:
Přenos αref na α:
<math>G(s)\,=\,\frac{\frac{k_m k_p}{JR}}
{s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR}
}</math>
Přenos αref na x:
<math>G(s)\,=\,\frac{(\frac{k_m k_p}{JR})(\frac{g}{1+\frac{2}{5}(\frac{R_k}{r})^2})\cos(k\alpha_0)}
{s(s+\delta)(s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR})}</math>