Kulička na tyči K1 - pro učitele

From DCEwiki
Jump to: navigation, search

Lze předpokládat, že proudová rovnice odezní podstatně rychleji než rovnice mechanická, můžeme tedy uvažovat, že
L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}=0.     (6)


Z náhradního schématu na obr.3 sestavíme rovnici pro u(t). Platí, že
u(t)\,=\,k_p(\alpha(t)-\varphi(t)).     (7)


Kombinací rovnic (1), (2), (3), (6) a (7) a za předpokladu, že tyč zpětně neovlivňuje chování motoru, tzn. Mz=0 N m, získáme úpravou použitých rovnic rovnici

\frac{\mathrm{d} \omega(t)}{\mathrm{d}t}=(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})\omega(t)+\frac{k_m k_p}{JR}(\alpha_{ref} (t) - \varphi(t)).     (8)


Závislost úhlu náklonu tyče na úhlu natočení hřídele \alpha(\varphi) je lineární, můžeme tedy psát
\alpha(\varphi)\,=\,k\varphi(t).     (9)


Stavový popis modelu Stavový vektor volíme
x(t)\,=\,[\omega(t)\,\varphi(t)\,v(t)\,x(t)]^T.     (10)


Provedeme linarizaci v obecném pracovním bodě a získáme stavové matice popisující systém:
A=
\left(\begin{array}[c]{cccc}
-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J} & -\frac{k_m k_p}{JR} & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & -\frac{g}{1+\frac{2}{5} (\frac{R_k}{r})^2}\cos(k \alpha_0) & -\delta & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
, B=
\left(\begin{array}[c]{ccc}
\frac{k_m k_p}{JR} \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
, C=
\left(\begin{array}[c]{cccc}
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}\right)
, D=
\left(\begin{array}[c]{ccc}
0\\
0
\end{array}\right)
.


Přenosy systému tak jsou:


Přenos αref na α:
G(s)\,=\,\frac{\frac{k_m k_p}{JR}}
{s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR}
}


Přenos αref na x:
G(s)\,=\,\frac{(\frac{k_m k_p}{JR})(\frac{g}{1+\frac{2}{5}(\frac{R_k}{r})^2})\cos(k\alpha_0)}
{s(s+\delta)(s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR})}