Kulička na tyči K1 - pro učitele

Z DCEwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Verze k tisku již není podporovaná a může obsahovat chyby s vykreslováním. Aktualizujte si prosím záložky ve svém prohlížeči a použijte prosím zabudovanou funkci prohlížeče pro tisknutí.

Lze předpokládat, že proudová rovnice odezní podstatně rychleji než rovnice mechanická, můžeme tedy uvažovat, že
<math>L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}=0</math>.     (6)


Z náhradního schématu na obr.3 sestavíme rovnici pro u(t). Platí, že
<math>u(t)\,=\,k_p(\alpha(t)-\varphi(t))</math>.     (7)


Kombinací rovnic (1), (2), (3), (6) a (7) a za předpokladu, že tyč zpětně neovlivňuje chování motoru, tzn. Mz=0 N m, získáme úpravou použitých rovnic rovnici

<math>\frac{\mathrm{d} \omega(t)}{\mathrm{d}t}=(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})\omega(t)+\frac{k_m k_p}{JR}(\alpha_{ref} (t) - \varphi(t))</math>.     (8)


Závislost úhlu náklonu tyče na úhlu natočení hřídele \alpha(\varphi) je lineární, můžeme tedy psát
<math>\alpha(\varphi)\,=\,k\varphi(t)</math>.     (9)


Stavový popis modelu Stavový vektor volíme
<math>x(t)\,=\,[\omega(t)\,\varphi(t)\,v(t)\,x(t)]^T</math>.     (10)


Provedeme linarizaci v obecném pracovním bodě a získáme stavové matice popisující systém:
A=<math> \left(\begin{array}[c]{cccc} -\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J} & -\frac{k_m k_p}{JR} & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -\frac{g}{1+\frac{2}{5} (\frac{R_k}{r})^2}\cos(k \alpha_0) & -\delta & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) </math>, B=<math> \left(\begin{array}[c]{ccc} \frac{k_m k_p}{JR} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) </math>, C=<math> \left(\begin{array}[c]{cccc} 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right) </math>, D=<math> \left(\begin{array}[c]{ccc} 0\\ 0 \end{array}\right) </math>.


Přenosy systému tak jsou:


Přenos αref na α:
<math>G(s)\,=\,\frac{\frac{k_m k_p}{JR}} {s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR} }</math>


Přenos αref na x:
<math>G(s)\,=\,\frac{(\frac{k_m k_p}{JR})(\frac{g}{1+\frac{2}{5}(\frac{R_k}{r})^2})\cos(k\alpha_0)} {s(s+\delta)(s^2-(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})s+\frac{k_m k_p}{JR})}</math>