Kulička na tyči K1 - pro učitele

Z DCEwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Lze předpokládat, že proudová rovnice odezní podstatně rychleji než rovnice mechanická, můžeme tedy uvažovat, že
<math>L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}=0</math>.


Z náhradního schématu na obr.3 sestavíme rovnici pro u(t). Platí, že
<math>u(t)\,=\,k_p(\alpha(t)-\varphi(t))</math>.


Za předpokladu, že tyč zpětně neovlivňuje chování motoru, tzn. Mz=0 N m, získáme úpravou použitých rovnic rovnici

<math>\frac{\mathrm{d} \omega(t)}{\mathrm{d}t}=(-\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J})\omega(t)+\frac{k_m k_p}{JR}(\alpha_{ref} (t) - \varphi(t))</math>.


Závislost úhlu náklonu tyče na úhlu natočení hřídele \alpha(\varphi) je lineární, můžeme tedy psát
<math>\alpha(\varphi)\,=\,k\varphi(t)</math>.


Stavový popis modelu Stavový vektor volíme
<math>x(t)\,=\,[\omega(t)\,\varphi(t)\,v(t)\,x(t)]^T</math>


Provedeme linarizaci v obecném pracovním bodě a získáme stavové matice popisující systém: A=<math> \left(\begin{array}[c]{cccc} -\frac{k_m k_e}{JR}-\frac{b}{J} & -\frac{k_m k_p}{JR} & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -\frac{g}{1+\frac{2}{5} (\frac{R_k}{r})^2}\cos(k \alpha_0) & -\delta & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) </math>, B=<math> \left(\begin{array}[c]{ccc} \frac{k_m k_p}{JR} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) </math>, C=<math> \left(\begin{array}[c]{cccc} 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right) </math>, D=<math> \left(\begin{array}[c]{ccc} 0\\ 0 \end{array}\right) </math>.


Přenosy systému tak jsou:


Přenos αref na α:
<math>G(s)\,=\,\frac{\frac{K \Lambda_1}{C_1 C_2}} {s^2+\frac{C_1 \Lambda_1+C_1 \Lambda_2 + C_2 \Lambda_1}{C_1 C_2}s+\frac{\Lambda_1 \Lambda_2}{C_1 C_2} }</math>


Přenos αref na x:
<math>G(s)\,=\,\frac{\frac{\Lambda_2}{C_2}s+\frac{\Lambda_1 \Lambda_2}{C_1 C_2}} {s^2+\frac{C_1 \Lambda_1+C_1 \Lambda_2 + C_2 \Lambda_1}{C_1 C_2}s+\frac{\Lambda_1 \Lambda_2}{C_1 C_2} }</math>